एकैकी: माना $f(x_1)=f(x_2)$, अर्थात् $2x_1+1=2x_2+1$। तब $x_1=x_2$। $\checkmark$

आच्छादी: किसी भी $y\in\mathbb{R}$ के लिए $x=\dfrac{y-1}{2}\in\mathbb{R}$ लें। तब $f(x)=y$। $\checkmark$

निष्कर्ष: $f$ द्विएकैकी है और $f^{-1}(y)=\dfrac{y-1}{2}$। $\blacksquare$

स्वतुल्यता: $3\mid(a-a)=0$। $\checkmark$

सममिति: $3\mid(a-b)\Rightarrow a-b=3k\Rightarrow b-a=3(-k)\Rightarrow 3\mid(b-a)$। $\checkmark$

संक्रामकता: $3\mid(a-b)$ और $3\mid(b-c)\Rightarrow a-c=3(k+m)\Rightarrow 3\mid(a-c)$। $\checkmark$

तुल्यता वर्ग ($\mathbb{Z}$ का विभाजन):
$[0]=\{\ldots,-3,0,3,6,\ldots\}$,  $[1]=\{\ldots,-2,1,4,7,\ldots\}$,  $[2]=\{\ldots,-1,2,5,8,\ldots\}$। $\blacksquare$

संयोजन: $(g\circ f)(x)=e^{x+1}$, $g\circ f\colon\mathbb{R}\to(0,\infty)$।

एकैकी: $e^{x_1+1}=e^{x_2+1}\Rightarrow x_1=x_2$। $\checkmark$

आच्छादी: $y>0$ के लिए $x=\ln y-1$; $(g\circ f)(x)=y$। $\checkmark$

प्रतिलोम: $(g\circ f)^{-1}(y)=\ln y-1$।

सत्यापन: $f^{-1}(y)=y-1$, $g^{-1}(y)=\ln y$। $(f^{-1}\circ g^{-1})(y)=\ln y-1$। $\checkmark$ $\blacksquare$

भाग (i): $g\circ f$ एकैकी $\Rightarrow f$ एकैकी।

माना $f(a_1)=f(a_2)$। तब $g(f(a_1))=g(f(a_2))$, अर्थात् $(g\circ f)(a_1)=(g\circ f)(a_2)$। चूँकि $g\circ f$ एकैकी है, $a_1=a_2$। अतः $f$ एकैकी है। $\blacksquare$

भाग (ii): $g\circ f$ आच्छादी $\Rightarrow g$ आच्छादी।

कोई $c\in C$ लें। $g\circ f$ आच्छादी होने से $\exists\,a\in A$ ऐसा कि $(g\circ f)(a)=c$, अर्थात् $g(f(a))=c$। $b=f(a)\in B$ रखने पर $g(b)=c$। अतः $g$ आच्छादी है। $\blacksquare$

टिप्पणी — विलोम असत्य हैं: $g\circ f$ एकैकी $\not\Rightarrow g$ एकैकी। $g\circ f$ आच्छादी $\not\Rightarrow f$ आच्छादी। प्रतिउदाहरण: $A=\{1\}$, $B=\{1,2\}$, $C=\{1\}$, $f(1)=1$, $g(1)=g(2)=1$।